запись прямой по 2 точкам параметрическим уравнением

векторное уравнение 
r= r0 + td

p(2,3,5) первая точку берем как точку
d < -2, 5, 4 >  вторую точку берем как направление 


координаты точек на этой прямой 
x = 2 + -2t
y = 3 + 5t
z = 5 + 4t

=============================================================================

Пример 5

Составить уравнения прямой, проходящей через 2 точки .
m1(2,-3,6) выбираем 1 точкой
m2(4,-3,-10)

Решение: Найдём направляющий вектор прямой:
d = < m2[x] - m1[x],m2[y] - m1[y], m2[z] - m1[z] >
d = < 4 - 2, -3 -(-3), -10 -6>
d = < 2, 0, -16 >


Уравнения прямой составим по точке  (можно было выбрать точку m2) и направляющему вектору :

(x - m1[x])/d[x] = (z - m1[z])/d[z1] (y-m1[y])/d[y1] если знаменатель = 0 , то 
приравниваем числитель к нулю
(x - 2) / 4-2 = (z - 6)/-10 -6 ; (y - -3 )= 0 на 0 делить нельзя


================================================
m1(m1[x], m1[y], m1[z])  point
d <d[x], d[y], d[z]>  dir vector

x = d[x]*t+m1[x];
y = d[y]*t+m1[y];
z = d[z]*t+m1[z];

для справки:
(x-m1[x])/d[x] = (y-m1[y])/d[y]) = (z-m1[z])/d[z] = t


 
формула сферы (а в с - координаты центра сферы)
(x−a)^2+(y−b)^2+(z−c)^2=R^2
xx - 2ax + aa + yy - 2by + bb + zz - 2cz + cc = rr

подставляем значения x y z в формулу сферы

(d[x]*t+m1[x])*(d[x]*t+m1[x]) - 2*a*(d[x]*t+m1[x]) + a*a + 
(d[y]*t+m1[y])*(d[y]*t+m1[y]) - 2*b*(d[y]*t+m1[y]) + b*b + 
(d[z]*t+m1[z])*(d[z]*t+m1[z]) - 2*c*(d[z]*t+m1[z]) + c*c = r*r

(d[x]*t)^2 +  2*d[x]*t*m1[x] + m1[x]^2 - 2*a*d[x]*t - 2*a*m1[x] + a^2 +
(d[y]*t)^2 +  2*d[y]*t*m1[y] + m1[y]^2 - 2*b*d[y]*t - 2*b*m1[y] + b^2 +
(d[z]*t)^2 +  2*d[z]*t*m1[z] + m1[z]^2 - 2*c*d[z]*t - 2*c*m1[z] + c^2 + = r^2

d[x]^2*t^2 +  2*d[x]*t*m1[x] + m1[x]^2 - 2*a*d[x]*t - 2*a*m1[x] + a^2 +
d[y]^2*t^2 +  2*d[y]*t*m1[y] + m1[y]^2 - 2*b*d[y]*t - 2*b*m1[y] + b^2 +
d[z]^2*t^2 +  2*d[z]*t*m1[z] + m1[z]^2 - 2*c*d[z]*t - 2*c*m1[z] + c^2 + = r^2

(d[x]^2 + d[y]^2 + d[z]^2)*t^2 + 
(2*d[x]*m1[x] + 2*d[y]*m1[y] + 2*d[z]*m1[z] - 2*a*d[x] - 2*b*d[y] - 2*c*d[z])*t + 
m1[x]^2 + m1[y]^2+ m1[z]^2 + a^2 + b^2+ c^2 - r^2 = 0


========================================================
========================================================
========================================================

в итоге мы должны получить квадратное уравнение вида 
Ax^2 + Bx + C = 0( a b c  это другие значения -координаты центра сферы )
========================================================
========================================================
дискриминант D > 0 - 2 решения  = 0 - 1 решение(пересечения)  т е значение t

D = B^2 - 4*A*C

D = (2*d[x]*m1[x] + 2*d[y]*m1[y] + 2*d[z]*m1[z] - 2*a*d[x] - 2*b*d[y] - 2*c*d[z])^2 -
4*(d[x]^2 + d[y]^2 + d[z]^2)* (m1[x]^2 + m1[y]^2+ m1[z]^2 + a^2 + b^2+ c^2 - r^2)





=================================================
проекция вектора  а на ось  е (вектор) равна  |a|*cos(угол между векторами)
 a' = |a|*cosAlpha

 Формула вычисления угла между векторами

cos α = 	a·b
|a|·|b|

Пример 3. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Найдем модули векторов:

|a| = √(3^2 + 4^2 + 0^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
|b| = √(4^2 + 4^2 + 2^2) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6
Найдем угол между векторами:

cos α = (a · b)/(|a| · |b|)	 = 	28/(5 * 6)	 = 	14/15